Độ dài cung tròn

Độ dài cung tròn của đường tròn bán kính r {\displaystyle r} , chắn góc ở tâm θ {\displaystyle \theta \,\!} (đo bằng radian) được tính bằng công thức θ r {\displaystyle \theta r\,\!} . Điều này là vì

L c h u v i = θ 2 π . {\displaystyle {\frac {L}{\mathrm {chuvi} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.\,\!}

tương đương

L 2 π r = θ 2 π , {\displaystyle {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},\,\!}

tương đương

L = θ r . {\displaystyle L=\theta r.\,\!}

Nếu số đo góc ở tâm là α {\displaystyle \alpha } độ thì sẽ có số đo bằng radian là:

θ = α 180 π , {\displaystyle \theta ={\frac {\alpha }{180}}\pi ,\,\!}

Thế vào phương trình trên, thu được công thức tương đương

L = α π r 180 . {\displaystyle L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.\,\!}

Một cách thực hành tính độ dài cung tròn là vẽ hai đoạn thẳng từ hai đầu mút giới hạn cung tròn đến tâm đường tròn, đo góc tạo bởi hai đoạn thẳng đó rồi từ đó nhân chéo để tính ra độ dài L:

số đo góc (tính bằng độ)/360 = L/Chuvi.

Ví dụ: cho số đo góc là 60 độ, chu vi là 24 cm

60 360 = L 24 {\displaystyle {\frac {60}{360}}={\frac {L}{24}}} 360 L = 1440 {\displaystyle 360L=1440} L = 4 {\displaystyle L=4} (cm).

Độ dài cung parabol

Cho điểm X nằm trên đường parabol (có tiêu cự f , {\displaystyle f,} ) và gọi p {\displaystyle p} là khoảng cách vuông góc từ X đến trục đối xứng của parabol. Giả thiết f {\displaystyle f} và p {\displaystyle p} cùng đơn vị đo và gọi s {\displaystyle s} là độ dài cung parabol tính từ X đến đỉnh của parabol thì s {\displaystyle s} được tính như sau:

h = p 2 {\displaystyle h={\frac {p}{2}}} q = f 2 + h 2 {\displaystyle q={\sqrt {f^{2}+h^{2}}}} s = h q f + f ln ⁡ ( h + q f ) {\displaystyle s={\frac {hq}{f}}+f\ln \left({\frac {h+q}{f}}\right)}

Từ đây suy ra độ dài cung parabol giới hạn bởi điểm X và điểm đối xứng của nó qua trục đối xứng của parabol là bằng 2 s {\displaystyle 2s} .

Khoảng cách vuông góc p {\displaystyle p} có thể mang giá trị đại số âm hoặc dương, ngụ ý điểm X nằm về bên nào của trục đối xứng. Khi đó nếu h {\displaystyle h} và s {\displaystyle s} cũng mang dấu thì độ dài cung giới hạn bởi hai điểm bất kỳ trên đường parabol luôn bằng với chênh lệch giữa hai giá trị s {\displaystyle s} của chúng. Đơn giản hóa công thức bằng các dùng các tính chất của hàm lô-ga-rít, thu được:

s 1 − s 2 = h 1 q 1 − h 2 q 2 f + f ln ⁡ ( h 1 + q 1 h 2 + q 2 ) {\displaystyle s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln \left({\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}\right)}

Công thức này có thể hữu ích khi muốn tính kích thước vật liệu cần thiết để làm ra gương phản xạ parabol hoặc chảo gương parabol.

Cách tính này có thể dùng trong mọi trường hợp parabol chứ không chỉ giới hạn trong trường hợp trục đối xứng của đường parabol nằm song song với trục y.